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番外篇:Otsu 阈值法

大部分图像处理任务都需要先进行二值化操作,阈值的选取很关键,Otsu 阈值法会自动计算阈值。

Otsu 阈值法(日本人大津展之提出的,也可称大津算法)非常适用于双峰图片,啥意思呢?

Otsu N. A threshold selection method from gray-level histograms[J]. IEEE transactions on systems, man, and cybernetics, 1979, 9(1): 62-66.

什么是双峰图片?

双峰图片就是指图片的灰度直方图上有两个峰值,直方图就是每个值(0~255)的像素点个数统计,后面会详细介绍。

Otsu 算法假设这副图片由前景色和背景色组成,通过统计学方法(最大类间方差)选取一个阈值,将前景和背景尽可能分开,我们先来看下代码,然后详细说明下算法原理。

代码示例

下面这段代码对比了使用固定阈值和 Otsu 阈值后的不同结果:

另外,对含噪点的图像,先进行滤波操作效果会更好。

import cv2
from matplotlib import pyplot as plt

img = cv2.imread('noisy.jpg', 0)

# 固定阈值法
ret1, th1 = cv2.threshold(img, 100, 255, cv2.THRESH_BINARY)

# Otsu 阈值法
ret2, th2 = cv2.threshold(img, 0, 255, cv2.THRESH_BINARY + cv2.THRESH_OTSU)

# 先进行高斯滤波,再使用 Otsu 阈值法
blur = cv2.GaussianBlur(img, (5, 5), 0)
ret3, th3 = cv2.threshold(blur, 0, 255, cv2.THRESH_BINARY + cv2.THRESH_OTSU)

下面我们用 Matplotlib 把原图、直方图和阈值图都显示出来:

images = [img, 0, th1, img, 0, th2, blur, 0, th3]
titles = ['Original', 'Histogram', 'Global(v=100)',
'Original', 'Histogram', "Otsu's",
'Gaussian filtered Image', 'Histogram', "Otsu's"]

for i in range(3):
# 绘制原图
plt.subplot(3, 3, i * 3 + 1)
plt.imshow(images[i * 3], 'gray')
plt.title(titles[i * 3], fontsize=8)
plt.xticks([]), plt.yticks([])

# 绘制直方图 plt.hist,ravel 函数将数组降成一维
plt.subplot(3, 3, i * 3 + 2)
plt.hist(images[i * 3].ravel(), 256)
plt.title(titles[i * 3 + 1], fontsize=8)
plt.xticks([]), plt.yticks([])

# 绘制阈值图
plt.subplot(3, 3, i * 3 + 3)
plt.imshow(images[i * 3 + 2], 'gray')
plt.title(titles[i * 3 + 2], fontsize=8)
plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

固定阈值 vs Otsu 阈值

可以看到,Otsu 阈值明显优于固定阈值,省去了不断尝试阈值判断效果好坏的过程。其中,绘制直方图时,使用了 numpy 中的ravel()函数,它会将原矩阵压缩成一维数组,便于画直方图。

Otsu 算法详解

Otsu 阈值法将整幅图分为前景(目标)和背景,以下是一些符号规定:

  • TT:分割阈值
  • N0N_0:前景像素点数
  • N1N_1:背景像素点数
  • ω0\omega_0:前景的像素点数占整幅图像的比例
  • ω1\omega_1:背景的像素点数占整幅图像的比例
  • μ0\mu_0:前景的平均像素值
  • μ1\mu_1:背景的平均像素值
  • μ\mu:整幅图的平均像素值
  • rows×colsrows\times cols:图像的行数和列数

结合下图会更容易理解一些,有一副大小为 4×4 的图片,假设阈值 T 为 1,那么:

其实很好理解,N0+N1N_0+N_1就是总的像素点个数,也就是行数乘列数:

N0+N1=rows×colsN_0+N_1=rows\times cols

ω0\omega_0ω1\omega_1是前/背景所占的比例,也就是:

ω0=N0rows×cols\omega_0=\frac{N_0}{rows\times cols}
ω1=N1rows×cols\omega_1=\frac{N_1}{rows\times cols}
ω0+ω1=1(1)\omega_0+\omega_1=1 \tag{1}

整幅图的平均像素值就是:

μ=ω0×μ0+ω1×μ1(2)\mu=\omega_0\times \mu_0+\omega_1\times \mu_1 \tag{2}

此时,我们定义一个前景μ0\mu_0与背景μ1\mu_1的方差gg

g=ω0(μ0μ)2+ω1(μ1μ)2(3)g=\omega_0(\mu_0-\mu)^2+\omega_1(\mu_1-\mu)^2 \tag{3}

将前述的 1/2/3 公式整合在一起,便是:

g=ω0ω1(μ0μ1)2g=\omega_0\omega_1(\mu_0-\mu_1)^2

gg就是前景与背景两类之间的方差,这个值越大,说明前景和背景的差别也就越大,效果越好。Otsu 算法便是遍历阈值 T,使得gg最大,所以又称为最大类间方差法。基本上双峰图片的阈值 T 在两峰之间的谷底。

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引用