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番外篇：图像梯度

了解图像梯度和边缘检测的相关概念。图片等可到文末引用处下载。

还记得前面平滑图像中提到的滤波与模糊的区别吗？我们说低通滤波器是模糊，高通滤波器是锐化，这节我们就来看看高通滤波器。

图像梯度​

如果你还记得高数中用一阶导数来求极值的话，就很容易理解了：把图片想象成连续函数，因为边缘部分的像素值是与旁边像素明显有区别的，所以对图片局部求极值，就可以得到整幅图片的边缘信息了。不过图片是二维的离散函数，导数就变成了差分，这个差分就称为图像的梯度。

当然，大部分人应该是早忘记高数了(￣ ▽ ￣)"，所以看不懂的话，就把上面的解释划掉，我们重新从卷积的角度来看看。

垂直边缘提取​

滤波是应用卷积来实现的，卷积的关键就是卷积核，我们来考察下面这个卷积核：

k1=[−101−202−101]k1 = \left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \newline -2 & 0 & 2 \newline -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right]

这个核是用来提取图片中的垂直边缘的，怎么做到的呢？看下图：

当前列左右两侧的元素进行差分，由于边缘的值明显小于（或大于）周边像素，所以边缘的差分结果会明显不同，这样就提取出了垂直边缘。同理，把上面那个矩阵转置一下，就是提取水平边缘。这种差分操作就称为图像的梯度计算：

k2=[−1−2−1000121]k2 = \left[ \begin{matrix} -1 & -2 & -1 \newline 0 & 0 & 0 \newline 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right]

垂直和水平边缘提取

还记得滤波函数cv2.filter2D()吗？（番外篇：卷积基础）我们来手动实现上面的功能：

img = cv2.imread('sudoku.jpg', 0)

# 自己进行垂直边缘提取
kernel = np.array([[-1, 0, 1],
                   [-2, 0, 2],
                   [-1, 0, 1]], dtype=np.float32)
dst_v = cv2.filter2D(img, -1, kernel)
# 自己进行水平边缘提取
dst_h = cv2.filter2D(img, -1, kernel.T)
# 横向并排对比显示
cv2.imshow('edge', np.hstack((img, dst_v, dst_h)))
cv2.waitKey(0)

Sobel 算子​

上面的这种差分方法就叫Sobel 算子，它先在垂直方向计算梯度Gx=k1×srcG_x=k_1×src，再在水平方向计算梯度Gy=k2×srcG_y=k_2×src，最后求出总梯度：G=Gx2+Gy2G=\sqrt{Gx^2+Gy^2}

我们可以把前面的代码用 Sobel 算子更简单地实现：

sobelx = cv2.Sobel(img, -1, 1, 0, ksize=3)  # 只计算 x 方向
sobely = cv2.Sobel(img, -1, 0, 1, ksize=3)  # 只计算 y 方向
tip

很多人疑问，Sobel 算子的卷积核这几个值是怎么来的呢？事实上，并没有规定，你可以用你自己的。

比如，最初只利用领域间的原始差值来检测边缘的Prewitt 算子：

K=[−101−101−101]K = \left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \newline -1 & 0 & 1 \newline -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right]

还有比 Sobel 更好用的Scharr 算子，大家可以了解下：

K=[−303−10010−303]K = \left[ \begin{matrix} -3 & 0 & 3 \newline -10 & 0 & 10 \newline -3 & 0 & 3 \end{matrix} \right]

这些算法都是一阶边缘检测的代表，网上也有算子之间的对比资料，有兴趣的可参考文末引用。

Laplacian 算子​

高数中用一阶导数求极值，在这些极值的地方，二阶导数为 0，所以也可以通过求二阶导计算梯度：

dst=∂2f∂x2+∂2f∂y2dst=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

一维的一阶和二阶差分公式分别为：

∂f∂x=f(x+1)−f(x)\frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x)
∂2f∂x2=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)

提取前面的系数，那么一维的 Laplacian 滤波核是：

K=[1−21]K=\left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \end{matrix} \right]

而对于二维函数 f(x,y)，两个方向的二阶差分分别是：

∂2f∂x2=f(x+1,y)+f(x−1,y)−2f(x,y)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y)
∂2f∂y2=f(x,y+1)+f(x,y−1)−2f(x,y)\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y)

合在一起就是：

▽2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)\triangledown^2 f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)

同样提取前面的系数，那么二维的 Laplacian 滤波核就是：

K=[0101−41010]K = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \newline 1 & -4 & 1 \newline 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right]

这就是 Laplacian 算子的图像卷积模板，有些资料中在此基础上考虑斜对角情况，将卷积核拓展为：

K=[1111−81111]K = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \newline 1 & -8 & 1 \newline 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right]

OpenCV 中直接使用cv2.Laplacian()函数：

laplacian = cv2.Laplacian(img, -1)  # 使用 Laplacian 算子

Laplacian 算子是二阶边缘检测的典型代表，一/二阶边缘检测各有优缺点，大家可自行了解。

练习​

  1. （选做）同志们有空补补高数姿势（知识）呗！(✿◕‿◕✿)

引用​